Question

已知

a

=（

2

，-1），

b

=（

2

2

，2）．f（x）=x²+

a

²x+

a

•

b

，数列{a_n}满足a₁=1，3a_n=f （a_n-1）+1
（n∈N，n≥2），数列{b_n}前n项和为S_n，且b_n=

1

an+3

．
（1）写出y=f （x）的表达式；
（2）判断数列{a_n}的增减性；
（3）是否存在n₁，n₂（n₁，n₂∈N*），使S n1≥1或S n2＜

1

4

，如果存在，求出n₁或n₂的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用向量的模的计算公式、数量积运算即可得出；
（2）利用（1），再进行变形即可得出；
（3）利用“裂项求和”和单调性即可得出S_n满足的条件，进而得出结论．

解答：解：（1）∵

a

2=(

2

)2+1=3，

a

•

b

=

2

×

2

2

-1×2=-1，
∴f （x）=x²+3x-1．
（2）∵3a_n=

a

2 n-1

+3a_n-1-1+1，∴3（a_n-a_n-1）=

a

2 n-1

≥0，
∵a₁=1≠0，∴a_n＞a_n-1
∴数列{a_n}单调递增．
（3）由3a_n=a_n-1（a_n-1+3）得出

1

an-1+3

=

an-1

3an

，
∴b_n=

1

an+3

=

an

3an+1

=

a 2 n

3anan+1

=

3an+1-3an

3anan+1

=

1

an

-

1

an+1

．
∴S_n=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)
=1-

1

an+1

．
由（2）知a_n单调递增，且a₁=1，∴a₂=

4

3

，a_n+1≥a₂=

4

3

．
∴0＜

1

an+1

≤

3

4

，∴-

3

4

≤-

1

an+1

＜0，
∴

1

4

≤S_n＜1．
故不存在n₁使Sn1≥1，也不存在n₂，使Sn2＜

1

4

．

点评：熟练掌握向量的模的计算公式、数量积运算、恰当变形、“裂项求和”和数列的单调性等是解题的关键．