Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-m．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，方程f（x）=0有实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]时，求出内层函数的取值范围，方程f（x）=0有实数解，结合三角函数的图象和性质，即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-m．
化简可得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$-m=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}-m$．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$．
∴函数f（x）的单调递增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]，k∈Z．
（2）由x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}-m$．
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
方程f（x）=0有实数解，即sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}+m$．
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$\frac{1}{2}+m$≤1．
解得：$-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$≤m≤$\frac{1}{2}$，
故得实数m的取值范围是[$-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．