Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2+3，x∈[-1，t]（t＞-1），函数g(t)=

1

3

(t-2)2，t＞-1
（Ⅰ）当0＜t＜1时，求函数f（x）的单调区间和最大、最小值；
（Ⅱ）求证：对于任意的t＞-1，总存在x₀∈（-1，t），使得x=x₀是关于x的方程f′（x）=g（t）的解；并就k的取值情况讨论这样的x₀的个数．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x）大于0，求出t的范围得到递增区间；小于0求出t的范围得到递减区间；讨论函数的增减性得到函数的最大为f（0），最小为f（-1）；
（Ⅱ）求出f′（x）将其和g（t）代入到方程f′（x）=g（t）中得到方程，令p(x)=x2-2x-

1

3

(t-2)2，分当t＞5或-1＜t＜2时和当2＜t＜5时，并且考虑特殊值t=2或5，讨论p（x）=0这个方程解的个数即可知道这样的x₀的个数．

解答：解：（Ⅰ）因为f′（x）=x²-2x=x（x-2）
由f′（x）＞0?x＞2或x＜0；由f′（x）＜0?0＜x＜2，
所以当0＜t＜1时，f（x）在（-1，0）上递增，在（0，t）上递减
因为f(-1)=

5

3

，f（0）=3，f(2)=

8

3

-4+3=

5

3

，
而f（0）＜f（t）＜f（2），
所以当x=-1时，函数f（x）取最小值f(-1)=

5

3

，
当x=0时，函数f（x）取最大值f（0）=3，
（Ⅱ）因为f′（x）=x²-2x，所以x2-2x=

1

3

(t-2)2，
令p(x)=x2-2x-

1

3

(t-2)2，
从而把问题转化为证明方程p(x)=x2-2x-

1

3

(t-2)2=0在（-1，t）上有解，
并讨论解的个数
因为p(-1)=3-

1

3

(t-2)2=-

1

3

(t+1)(t-5)，p(t)=t(t-2)-

1

3

(t-2)2=

2

3

(t+1)(t-2)，
所以
①当t＞5或-1＜t＜2时，p（-2）•p（t）＜0，所以p（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解
②当2＜t＜5时，p（-2）＞0且p（t）＞0，但由于p(0)=-

1

3

(t-2)2＜0，所以p（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解
③当t=2时，p（x）=x²-2x=0?x=0或x=2，所以p（x）=0在（-2，t）上有且只有一解x=0；
当t=5时，p（x）=x²-2x-3=0?x=-1或x=3，所以p（x）=0在（-1，5）上也有且只有一解x=3
综上所述，对于任意的t＞-1，总存在x₀∈（-1，t），满足f'（x₀）=g（t），且当t≥5或-1＜t≤2时，有唯一的x₀适合题意；
当2＜t＜5时，有两个x₀适合题意．

点评：考查学生利用导数研究函数的增减性，利用导数求闭区间上函数的最值，以及函数与方程的综合运用能力．