Question

已知点A（2，0），⊙B：（x+2）²+y²=36．P为⊙B上的动点，线段BP上的点M满足|MP|=|MA|．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点B（-2，0）的直线l与轨迹C交于S、T两点，且

SB

=2

BT

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意有可得|MA|+|MB|=6，故点M的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，根据椭圆的定义可得a=3，
c=2，可得b=

5

，故轨迹C的方程为 

x2

9

 +

y2

5

=1．
 （Ⅱ） 设l的方程为y=k（x+2），代入

x2

9

+

y2

5

=1得，（5+9k²）x²+36k²x+36k²-45=0．可得
x1=

30-18k2

5+9k2

，x2=

-18k2-30

5+9k2

，由

SB

=2

BT

，可得 （-2-x₁，0-y₁）=2（x₂+2，y₂） ①，
由此求出斜率k的值，即得l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意有可得|MA|+|MB|=|MP|+|MB|=6＞|AB|，故点M的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，
a=3，c=2，∴b=

5

，故轨迹C的方程为 

x2

9

 +

y2

5

=1．
（Ⅱ） 显然直线l的斜率存在，设l的方程为y=k（x+2），代入

x2

9

+

y2

5

=1得，
（5+9k²）x²+36k²x+36k²-45=0．∵l过焦点，∴△＞0显然成立．
设s（x₁，y₁），T（x₂，y₂），∵

SB

=2

BT

，∴（-2-x₁，0-y₁）=2（x₂+2，y₂） ①，
且

x1+x2=- 36k2 5+9k2 ② x1•x2= 36k2-45 5+9k2 ③

，由①②解得x1=

30-18k2

5+9k2

，x2=

-18k2-30

5+9k2

代入③
整理得：k²=3，∴k=±

3

，∴l的方程为y=±

3

(x+2)．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量坐标形式的运算，求出
x1=

30-18k2

5+9k2

，x2=

-18k2-30

5+9k2

，是解题的难点．