Question

已知向量

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x-a)，x∈[0，

π

2

]，a为实常数，y=

OA

•

OB

（1）求y关于x的函数解析式f（x）；
（2）设函数g（x）=af（x），且g（x）的最大值是

9

4

，求a值及此时的函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标公式，结合三角恒等变换的公式加以计算，即可得到f(x)=2sin(2x+

π

6

)-a+1，其中x∈[0，

π

2

]；
（2）由题意，得g(x)=2asin(2x+

π

6

)-a2+a，x∈[0，

π

2

]．因为

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，所以sin(2x+

π

6

)的最大值为1且最小值为-

1

2

．由此分a的正负进行讨论，结合题意建立关于a的方程，解出符合题意的a值为

3

2

，得到
g(x)=3sin(2x+

π

6

)-

3

4

，再根据正弦函数的单调区间公式即可算出此时的函数g（x）的单调增区间．

解答：解（1）∵y=

OA

•

OB

，向量

OA

=(2cos2x，1)，

OB

=(1，

3

sin2x-a)，
∴y=2cos2x+

3

sin2x-a…（1分）
化简，可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)-a+1，x∈[0，

π

2

]…（4分）
（2）由（1），可得g(x)=2asin(2x+

π

6

)-a2+a，x∈[0，

π

2

]，
∵

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，…（6分）
①当a＞0时，sin(2x+

π

6

)=1，g(x)max=2a-a2+a=

9

4

，
解之得a=

3

2

； …（8分）
②当a=0时，g（x）=0，不合题意，舍去；  …（9分）
③当a＜0时，sin(2x+

π

6

)=-

1

2

，g(x)max=-a-a2+a=

9

4

，无解  …（10分）
综上所述，a=

3

2

且g（x）表达式为g(x)=3sin(2x+

π

6

)-

3

4

，x∈[0，

π

2

]，
再令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，…（12分）
解之得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
因为x∈[0，

π

2

]，所以取k=0算出交集，可得函数g（x）的单调增区间为[0，

π

6

]…（14分）

点评：本题给出向量的数量积，得到正弦型三角函数表达式，求函数的单调区间与最值．着重考查了向量的数量积运算、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，考查了分类讨论数学思想，属于中档题．