Question

3．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C：ρcos2θ=asinθ（a＞0），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若曲线C与直线l只有一个公共点，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式把曲线C：ρcos2θ=asinθ（a＞0），化为ρ²（cos²θ-sin²θ）=aρsinθ，再利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程；直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t即可化为普通方程．
（2）由x²-y²=ay．（a＞0）．令x=0，解得y．由于直线x-y-2=0与y轴相交于点（0，-2）．即可得出．

解答 解：（1）曲线C：ρcos2θ=asinθ（a＞0），化为ρ²（cos²θ-sin²θ）=aρsinθ，∴x²-y²=ay．（a＞0）．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为x-y-2=0．
（2）由x²-y²=ay．（a＞0）．令x=0，解得y=0或y=-a．
由于直线x-y-2=0与y轴相交于点（0，-2）．
∴-a=-2，解得a=2．
∴a=2．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、倍角公式、直线与曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．