Question

11．若函数f（x）=4^x-a•2^x+1在区间[-1，1]上至少有一个零点，则实数a的取值范围是a≤-2或2≤a≤2.5．

Answer 1

分析 令t=2^x（$\frac{1}{2}$≤t≤2），y=t²-at+1=（t-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，通过题意知，需讨论二次函数f（x）对称轴的分布情况，解出a即可．

解答 解：令t=2^x（$\frac{1}{2}$≤t≤2），y=t²-at+1=（t-$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$
对称轴x=$\frac{a}{2}$，
①若$\frac{a}{2}$≤$\frac{1}{2}$或$\frac{a}{2}$≥2，即a≥4或a≤1时，
则在区间[$\frac{1}{2}$，2]上有零点的条件是：f（$\frac{1}{2}$）•f（2）≤0，无解；
②若$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜2，即1＜a＜4时，
则在区间[$\frac{1}{2}$，2]上有零点的条件是：f（-$\frac{a}{2}$）＜0，且f（$\frac{1}{2}$），f（2）中有一个大于0，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\\{\frac{5}{4}-\frac{a}{2}＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{{a}^{2}}{4}＜0}\\{5-2a＞0}\end{array}\right.$，
解得：a＜-2或2＜a＜2.5，取“=”也成立，
综上所述，实数a的取值范围是：2≤a≤2.5，
故答案为：2≤a≤2.5．

点评 熟练掌握二次函数图象以及对称轴、取零点的情况是求解本题的关键．