Question

10．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ+30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

Answer 1

分析 连接BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出BC的长，再利用正弦定理求出sin∠ACB的值，即可求出sinθ的值

解答 解：连接BC，在△ABC中，AC=10海里，AB=20海里，∠CAB=120°
根据余弦定理得：BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cos∠CAB=100+400+200=700，
∴BC=10$\sqrt{7}$海里，
根据正弦定理得$\frac{BC}{sin∠CAB}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，
即$\frac{10\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{sin∠ACB}$，
∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴sinθ=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了解三角形问题的实际应用，通常要利用正弦定理、余弦定理，同时往往与三角函数知识相联系．