Question

4．已知离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若M，N是椭圆C上异于A点的两个动点，且满足AM⊥AN，问直线MN是否恒过定点？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意的定义求得a=2，离心率e=$\frac{1}{2}$，求得c=1，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆的标准方程；
（2）分类讨论，当直线的斜率不存在时，求得直线MN的方程，当直线l的斜率存在，代入椭圆方程，利用韦达定理，直线的斜率公式即可求得m与k的关系，即可求得直线恒过定点．

解答 解：（1）由椭圆的定义可得，|AF₁|+|AF₂|=2a=4，解得a=2，
∵离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由题意知A（-2，0）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直线MN斜率不存在，则N（x₁，-y₁），由AM⊥AN，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=0，得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$•$\frac{{-y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-1，
又M和N在椭圆上，代入解得x=-$\frac{2}{7}$，则直线MN方程为x=-$\frac{2}{7}$．
若直线MN斜率存在，设方程为y=kx+m，
椭圆方程联立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{4{k}^{2}+m}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$．
由AM⊥AN，得 $\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$×$\frac{{-y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=-1，整理得（k²+1）x₁x₂+（km+2）（x₁+x₂）+m²+4=0
∴（k²+1）×$\frac{4{m}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$+（km+2）×（$\frac{8km}{4{k}^{2}+m}$）+m²+4=0．
解得m=2k或m=$\frac{2}{7}$k．
若m=2k，此时直线过定点（-2，0）不合题意舍去．
故m=$\frac{2}{7}$k，即直线MN过定点（-$\frac{2}{7}$，0）．
综上可知：直线l过定点（-$\frac{2}{7}$，0）．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注考查了直线与椭圆的位置关系，联立方程组，结合韦达定理整体求解，属于中档题．