Question

14．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，PA=$\sqrt{6}$，E为PA的中点，
（1）证明：PC∥面EBD；
（2）求三棱锥P-BCE的体积．

Answer 1

分析 （1）如图所示，连接AC交BD于点O．由底面ABCD是菱形，可得OA=OC，利用三角形的中位线定理可得OE∥PC，再利用线面平行的判定定理即可证明PC∥平面EBD．
（2）由于点E是PA的中点，可得V_{三棱锥P-BCE}=$\frac{1}{2}$V_{三棱锥A-PBC}．由O点是AC的中点，可得V_{三棱锥A-PBC}=2V_{三棱锥A-POB}=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$OP×OB×OA，即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，连接AC交BD于点O．
∵底面ABCD是菱形，
∴OA=OC，
又∵E为PA的中点，∴EO∥PC，
而PC?平面BED，EO?平面BED，
∴PC∥平面EBD．
（2）∵点E是PA的中点，∴V_{三棱锥P-BCE}═$\frac{1}{2}$V_{三棱锥A-PBC}．由O点是AC的中点，
可得V_{三棱锥A-PBC}=2V_{三棱锥A-POB}=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$OP×OB×OA=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1×\sqrt{3}=1$．
∴得V_{三棱锥P-BCE}=$\frac{1}{2}$V_{三棱锥A-PBC}=$\frac{1}{2}$

点评 题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题