Question

【题目】已知函数，，.

（1）求函数的单调增区间；

（2）令，且函数有三个彼此不相等的零点，其中.

①若，求函数在处的切线方程；

②若对，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②或

【解析】

（1）求出导函数，由确定增区间；

（2）由的根是，可得是方程的两实根，故，且由判别式得．

①由已知，可解得．然后可由导数几何意义求得切线方程；

②若对任意的，都有成立，所以，由的零点可得函数的性质（单调性，函数值的正负）．由可得，因此可分类：时，的最大值为0，当时，在上有极大值点也是最大值点，利用极值点导数值为0可得极值点与的关系，把它代入可得的范围，再由的范围可求得的取值范围．综合以上分析可得结论．

（1），所以，

令，得或．

所以的增区间是，．

（2），由方程，得是方程的两实根，故，且由判别式得．

①若，则，故由得．

，，，，

所以所求切线方程为，即．

②若对任意的，都有成立，所以.因为，所以或.

当时，对有，，所以，解得.又因为，得，则有；

当时，，则存在的极大值点，且.

由题意得，将代入得，进而得到，得.又因为，得.

综上可知的取值范围是或.