[题目]是自然对数的底数.已知函数..(1)求函数的最小值,(2)函数在上能否恰有两个零点?证明你的结论. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】是自然对数的底数，已知函数，.

（1）求函数的最小值；

（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你的结论.

【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析

【解析】

（1）先求导数，再求极值。然后可得最小值；

（2）结合零点存在定理进行判定.

（1）求导，由，得.列表如下:


+	0		0	+
单调递增	有极大值	单调递减	有极小值	单调递增

知为极大值，为极小值.

又因为当且仅当时，，并且在区间上为减函数，在区间上为增函数，

故在上的最小值为.

（2）函数在上能够恰有两个零点；

证明如下:由，知是一个零点.

又由（1）知，是函数的一个极大值，在单调区间和都不会再有零点了.

考虑单调区间，由，，

可见，函数在单调区间恰有一个零点.所以，函数在上恰有两个零点.

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