Question

如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
①f（x）=

x

；    ②g（x）=sinx （x∈（0，π））．
（2）若函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数，求M的最小值．

Answer 1

分析：（1）任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，我们判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边；
（2）要利用“保三角形函数”的概念，求M的最小值，首先证明当M≥2时，函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数，然后证明当0＜M＜2＜M＜2时，H（X）=LNX （x∈[M，+∞））不是保三角形函数，h（x）=lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函数，从而求出所求．

解答：解：（1）设0＜a≤b≤c，a+b＞c，欲证明

a

+

b

＞

c

，
只需证明 a+b+2

ab

＞c，成立．①是“保三角形函数”；
取 a=

π

2

，b=

5π

6

，c=

5π

6

，而sinb+sinc=sina，②不是“保三角形函数”；
（2）M的最小值为2
（i）首先证明当M≥2时，函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞））是保三角形函数．
对任意一个三角形三边长a，b，c∈[M，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．
因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a-1）（b-1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna+lnb＞lnc．
同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．
所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．
故函数h（x）=lnx （x∈[M，+∞），M≥2），是保三角形函数…13分
（ii）其次证明当0＜M＜2时，H（X）=LNX （x∈[M，+∞））不是保三角形函数，h（x）=lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函数　
因为0＜M＜2，所以M+M=2M＞M²，所以M，M，M²是某个三角形的三条边长，
而lnM+lnM=2lnM=lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能为某个三角形的三边长，所以h（x）=lnx 不是保三角形函数．
所以，当M＜2时，h（x）=lnx （x∈[M，+∞））不是保三角形函数．
综上所述：M的最小值为2

点评：要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可，属于创新题．