Question

已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），设直线L与圆C的交点为A，B，当直线L被圆C截得的弦最短时，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：将（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R转化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，利用

x+y-4=0 2x+y-7=0

即可确定所过的定点D（3，1），当AB⊥CD（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，从而可求△ABC的面积．

解答： 解：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴

x+y-4=0 2x+y-7=0

得

x=3 y=1

，
故l恒过定点D（3，1）
∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，
∴当AB⊥CD（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，
∵圆心C（1，2），
∴|CD|=

4+1

=

5

∴|AB|=

25-5

=2

5

，
∴当直线L被圆C截得的弦最短时，△ABC的面积

1

2

•2

5

•

5

=5．

点评：本题考查直线与圆的位置关系及恒过定点的直线，考查三角形面积的计算，确定l恒过定点是关键．