Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）求证：AMMB=DFDA．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA，

∵CA是∠BAF的角平分线，

∴∠OAC=∠FAC

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AD．

∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线．

（2）证明：连接BC，在Rt△ACB中，CM⊥AB，∴CM2=AMMB．

又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DFDA．

∵∠MAC=∠DAC，∠D=∠AMC，AC=AC

∴△AMC≌△ADC，∴DC=CM，

∴AMMB=DFDA

【解析】（1）证明DC是⊙O的切线，就是要证明CD⊥OC，根据CD⊥AF，我们只要证明OC∥AD；（2）首先，我们可以利用射影定理得到CM2=AMMB，再利用切割线定理得到DC2=DFDA，根据证明的结论，只要证明DC=CM．