Question

18．已知函数f（x）=$\frac{k}{2}{x^2}+\frac{x+1}{e^x}$-1（k为常数，k∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）当k=$\frac{1}{8}$时，若函数f（x）在（-∞，eⁿ]（n∈Z，e是自然对数的底数）上有两个零点，求n的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论k的范围，即可求出函数的单调区间；
（2）把k=$\frac{1}{8}$代入函数解析式，结合（1）中函数的单调性，可得f（x）的极大值为f（0）=0，极小值为f（3ln2）＜0，要使函数f（x）在（-∞，eⁿ]（n∈Z）上有两个零点，转化为$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{n}＞3ln2}\\{f（{e}^{n}）=\frac{{e}^{2n}}{16}+\frac{{e}^{n}+1}{{e}^{{e}^{n}}}-1≥0}\end{array}\right.$，由此不等式组可得n的最小值为2．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为R，由$f（x）=\frac{k}{2}{x^2}+\frac{x+1}{e^x}-1$，
得$f'（x）=kx+\frac{{{e^x}-（x+1）{e^x}}}{{{{（{e^x}）}^2}}}=kx-\frac{x}{e^x}=\frac{{x（k{e^x}-1）}}{e^x}$．
①当k≤0时，对x∈R都有ke^x-1＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值	递减

此时，f（x）的增区间是（-∞，0）；减区间是（0，+∞）．
②当0＜k＜1时，$f'（x）=\frac{{kx（{e^x}-\frac{1}{k}）}}{e^x}$．由f'（x）=0，得x=0或x=-lnk＞0．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，-lnk）	-lnk	（-lnk，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

此时，f（x）的增区间是（-∞，0），（-lnk，+∞）；减区间是（0，-lnk）．
③当k=1时，$f'（x）\frac{{x（{e^x}-1）}}{e^x}≥0$，此时，f（x）的增区间是（-∞，+∞），没有减区间．
④当1＜k时，$f'（x）=\frac{{kx（{e^x}-\frac{1}{k}）}}{e^x}$．由f'（x）=0，得x=0或x=-lnk＜0．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：

x	（-∞，-lnk）	-lnk	（-lnk，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

此时，f（x）的增区间是（-∞，-lnk），（0，+∞）；减区间是（-lnk，0）．
（2）k=$\frac{1}{8}$时，$f（x）=\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{x+1}{{e}^{x}}-1$，
由（1）②得：-lnk=-ln$\frac{1}{8}$=3ln2，
f（x）的增区间是（-∞，0），（3ln2，+∞）；减区间是（0，3ln2）．
∴f（x）的极大值为f（0）=0，极小值为f（3ln2）=$\frac{9l{n}^{2}2}{16}+\frac{3ln2+1}{8}-1$=$\frac{9l{n}^{2}2+6ln2-14}{16}$＜0，
要使函数f（x）在（-∞，eⁿ]（n∈Z）上有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{n}＞3ln2}\\{f（{e}^{n}）=\frac{{e}^{2n}}{16}+\frac{{e}^{n}+1}{{e}^{{e}^{n}}}-1≥0}\end{array}\right.$，
∵满足eⁿ＞3ln2的最小整数n为2，当n=2时，$\frac{{e}^{4}}{16}+\frac{{e}^{2}+1}{{e}^{{e}^{2}}}-1＞\frac{{e}^{4}}{16}-1＞0$，
∴n的最小值为2．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，属难题．