Question

18．设函数f（x）=ln（x-1）+ax²+x+1，g（x）=（x-1）e^x+ax²．  
（1）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若函数g（x）有两个零点，试求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数g（x）的单调性，结合函数零点的个数确定a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=ln（x-1）+x²+x+1的导数为
f′（x）=$\frac{1}{x-1}$+2x+1，
可得f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1+4+1=6，
切点为（2，7），
即有f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-7=6（x-2），
即为6x-y-5=0；
（2）函数g（x）的定义域为R，由已知得g'（x）=x（e^x+2a）．
①当a=0时，函数g（x）=（x-1）e^x只有一个零点；
②当a＞0，因为e^x+2a＞0，
当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．
所以函数g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
又g（0）=-1，g（1）=a，
因为x＜0，所以x-1＜0，e^x＜1，所以e^x（x-1）＞x-1，所以g（x）＞ax²+x-1
取x0=$\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2a}$，显然x₀＜0且g（x₀）＞0，
所以g（0）g（1）＜0，g（x₀）g（0）＜0．
由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．
③当a＜0时，由g'（x）=x（e^x+2a）=0，得x=0，或x=ln（-2a）．
ⅰ） 当a＜-$\frac{1}{2}$，则ln（-2a）＞0．
当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，ln（-2a））	ln（-2a）	（ln（-2a），+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	-1	↘		↗

注意到g（0）=-1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．
ⅱ） 当a=-$\frac{1}{2}$，则ln（-2a）=0，g（x）在（-∞，+∞）单调递增，函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．
ⅱⅰ） 若a＞-$\frac{1}{2}$，则ln（-2a）≤0．
当x变化时，g'（x），g（x）变化情况如下表：

x	（-∞，ln（-2a））	ln（-2a）	（ln（-2a），0）	0	（0，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗		↘	-1	↗

注意到当x＜0，a＜0时，g（x）=（x-1）e^x+ax²＜0，g（0）=-1，所以函数g（x）至多有一个零点，不符合题意．
综上，a的取值范围是（0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．