Question

7．用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析 先验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，根据条件计算（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）的结果即可得出n=k+1结论成立．

解答 证明：（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边=2•1=2．
∴左边=右边，故当n=1时，结论成立；
（2）假设n=k（k≥1）结论成立，即（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k）=2^k•1•3…（2k-1），
∴（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2）=$\frac{{2}^{k}•1•3…（2k-1）}{k+1}$•（2k+1）•（2k+2）=2^k+1•1•3…（2k-1）•（2k+1），
∴当n=k+1时，结论成立，
故对任意n∈N^*，结论都成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，属于中档题．