Question

2．过原点的直线l与抛物线y=x²-2ax（a＞0）所围成的图形的面积为y=$\frac{9}{2}$a³，则直线l的方程为（　　）

• A． y=ax
• B． y=ax或y=-6ax
• C． y=-ax
• D． y=ax或y=-5ax

Answer 1

分析 设l的方程为：y=kx，将直线与抛物线方程联解，得到两交点的横坐标分别为0与2a+k．由此分2a+k≥0与2a+k＜0两种情况讨论，根据定积分计算公式与微积分的几何意义建立关于a、k的方程，解出k值即可得到所求直线l的方程．

解答 解：设l的方程为：y=kx，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{2}-2ax}\end{array}\right.$，解得x=0或x=2a+k，
（1）若2a+k≥0，则所围成图形的面积S=${∫}_{0}^{2a+k}$（kx-x²+2ax）dx=（$\frac{1}{2}$kx²-$\frac{1}{3}$x³+ax²）${丨}_{0}^{2a+k}$=$\frac{（k+2a）^{3}}{6}$=$\frac{9}{2}$a³，解得：k=a．
∴所求直线l方程为：y=ax．
（2）若2a+k＜0，则所围成图形的面积S=${∫}_{2a+k}^{0}$（kx-x²+2ax）dx=（$\frac{1}{2}$kx²-$\frac{1}{3}$x³+ax²）${丨}_{2a+k}^{0}$=-$\frac{（k+2a）^{3}}{6}$=$\frac{9}{2}$a³，解之得k=-5a
∴所求直线l方程为：y=-5ax．
综上所述，直线l的方程为y=ax或y=-5ax，
故选：D．

点评 本题给出直线与抛物线围成的封闭图形的面积，求直线的方程．着重考查了直线与圆锥曲线的关系、微积分计算公式和微积分的几何意义等知识，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．