Question

12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足ccosB+bcosC=2acosC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2$\sqrt{3}，{S_{△ABC}}=2\sqrt{3}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理推导出ab=a²+b²-c²，再利用余弦定理求出cosC=$\frac{1}{2}$，由此能求出角C的大小．
（2）由正弦定理得${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$，求出ab=8，b=$\frac{8}{a}$，由余弦定理得：a⁴-20a²+64=0，由此能求出a，b的值．

解答 解：（1）∵△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足ccosB+bcosC=2acosC．
∴$c×\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}+b×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$2a×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{a}+\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{a}$=$2×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{b}$．
∴ab=a²+b²-c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵c=2$\sqrt{3}，{S_{△ABC}}=2\sqrt{3}$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}=2\sqrt{3}$，解得ab=8，∴b=$\frac{8}{a}$，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
即12=${a}^{2}+\frac{64}{{a}^{2}}-2a•\frac{8}{a}•cos60°$，
整理，得：a⁴-20a²+64=0，
解得a=2，b=4，或a=4，b=2．

点评 本题考查正弦宣理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．