Question

17．已知数列{a_n}（n∈N*），若{a_n+a_n+1}为等比数列，则称{a_n}具有性质P．
（1）若数列{a_n}具有性质P，且a₁=a₂=1，a₃=3，求a₄、a₅的值；
（2）若b_n=2ⁿ+（-1）ⁿ，求证：数列{b_n}具有性质P；
（3）设c₁+c₂+…+c_n=n²+n，数列{d_n}具有性质P，其中d₁=1，d₃-d₂=c₁，d₂+d₃=c₂，若d_n＞10²，求正整数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）{a_n+a_n+1}为等比数列，由a₁=a₂=1，a₃=3，可得{a_n+a_n+1}的公比为2，可得a_n+a_n+1=2ⁿ，进而得出a₄、a₅的值；
（2）证明{b_n+b_n+1}是以公比为2的等比数列，即可得出结论；
（3）求出d_n+d_n+1=2ⁿ，利用d_n＞10²，求正整数n的取值范围．

解答 解：（1）{a_n+a_n+1}为等比数列，
∵a₁=a₂=1，a₃=3，
∴a₁+a₂=1+1=2，a₂+a₃=1+3=4，
∴{a_n+a_n+1}的公比为2，
∴a_n+a_n+1=2ⁿ，
∴a₃+a₄=2³=8，即a₄=5，
∴a₄+a₅=2⁴=16，即a₅=11；
（2）∵b_n=2ⁿ+（-1）ⁿ，
∴b_n+b_n+1=2ⁿ+（-1）ⁿ+2ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ⁺¹=3•2ⁿ，
∴{b_n+b_n+1}是以公比为2的等比数列，
∴数列{b_n}具有性质P．
（3）∵c₁+c₂+…+c_n=n²+n，
∴c₁+c₂+…+c_n-1=（n-1）²+n-1，
∴c_n=2n，
∵d₁=1，d₃-d₂=c₁=2，d₂+d₃=c₂=4，
∴d₂=1，d₃=3，
∵数列{d_n}具有性质P，
由（1）可得，d_n+d_n+1=2ⁿ，∴d₄=5，d₅=11，d₆=21，d₇=43，d₈=85，d₉=171，
∵d_n＞10²，∴正整数n的取值范围是[9，+∞）．

点评 本题考查新定义，考查等比数列的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．