Question

2．函数f（x）=$\frac{2sinx•cosx}{1+sinx+cosx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}$]的最大值M，最小值为N，则M-N=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx，运用两角和的正弦公式，化为一个角的正弦形式，结合条件和正弦函数的图象和性质，可得t的范围，再由两边平方，可得t的函数式，化简后运用一次函数的单调性，即可得到所求最值之差．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
x∈（0，$\frac{π}{2}$]，可得x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{4}$时，t取得最大值$\sqrt{2}$，
当x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$即x=$\frac{π}{2}$时，t取得最小值1，
则t∈[1，$\sqrt{2}$]．
又t²=sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+2sinxcosx，
可得2sinxcosx=t²-1，
函数y=g（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{1+t}$=t-1，
由g（t）在t∈[1，$\sqrt{2}$]递增，可得g（t）的最小值为1-1=0，
最大值为$\sqrt{2}$-1．
即有M-N=$\sqrt{2}$-1-0=$\sqrt{2}$-1．
故选：B．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和三角函数的恒等变换公式，以及正弦函数的图象和性质，同时考查一次函数的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．