Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0
（1）求角B的大小；
（2）若b=$\frac{1}{2}$，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角和，和角的余弦公式化简，即可得出结论．
（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可求三角形周长l=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，由已知可求范围A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函数的图象和性质即可得解其取值范围．

解答 解：（1）∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
∴-cos（A+B）+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，
∴sinAsinB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinA，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC，
∴l=a+b+c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（sinA+sinC）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵B=$\frac{π}{3}$，A∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
可得△ABC的周长l的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理，和角的余弦公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．