Question

3．直线2x-y+a=0与3x+y-3=0交于第一象限，当点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a≥0}\\{3x+y-3≤0}\end{array}\right.$表示的区域上运动时，m=4x+3y的最大值为8，此时n=$\frac{y}{x+3}$的最大值为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a=0}\\{3x+y-3=0}\end{array}\right.$，可得交点，利用当点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a≥0}\\{3x+y-3≤0}\end{array}\right.$，表示的区域上运动时，m=4x+3y的最大值为8，求出a．然后利用线性规划求解目标函数的最值即可．

解答 解：由题意，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a=0}\\{3x+y-3=0}\end{array}\right.$，可得交点（$\frac{3-a}{5}$，$\frac{6+3a}{5}$），
当点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+a≥0}\\{3x+y-3≤0}\end{array}\right.$，表示的区域上运动时，m=4x+3y的最大值为8，
∴4×$\frac{3-a}{5}$+3×$\frac{6+3a}{5}$=8，∴a=2，
此时，直线2x-y+2=0与3x+y-3=0的交点坐标为（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$），交于第一象限，
画出约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{3x+y-3≤0}\end{array}\right.$的可行域，目标函数n=$\frac{y}{x+3}$的几何意义是可行域内的点与（-3，0）连线的斜率，
由可行域可知A与（-3，0）连线的斜率最大，由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{3x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{1}{5}$，$\frac{12}{5}$），
n=$\frac{y}{x+3}$的最大值为：$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查线性规划知识，考查学生的计算能力，属于中档题．