Question

12．若曲线${C_1}：{x^2}+{y^2}-2x=0$与曲线${C_2}：m{x^2}-xy+mx=0$有三个不同的公共点，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（0，\sqrt{3}）$
• B． $（-\sqrt{3}，0）∪（0，\sqrt{3}）$
• C． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$
• D． $（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，直线过定点（-1，0），当直线mx-y+m=0与圆相切时，根据圆心到直线的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，求出m的值，数形结合求出实数m的取值范围．

解答 解：由题意可知曲线C₁：x²+y²-2x=0表示一个圆，化为标准方程得：
（x-1）²+y²=1，所以圆心坐标为（1，0），半径r=1；
${C_2}：m{x^2}-xy+mx=0$表示两条直线x=0和mx-y+m=0，
由直线mx-y+m=0可知：此直线过定点（-1，0），
在平面直角坐标系中画出图象如图所示：
当直线mx-y+m=0与圆相切时，
圆心到直线的距离d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，
化简得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
则直线y-mx-m=0与圆相交时，m∈（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故选D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．