Question

11．设函数f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a＞0，b、c∈R，若f′（$\frac{1}{3}$）=0，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 由f′（$\frac{1}{3}$）=0求出a=b，然后求函数的单调区间；

解答 解：f′（x）=3ax²-2（a+b）x+b，
由f′（$\frac{1}{3}$）=0，得$\frac{1}{3}$a-$\frac{2}{3}$（a+b）+b=0，
故a=b，
故f（x）=ax³-2ax²+ax+c．
由f'（x）=a（3x²-4x+1）=0，得x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=1．
列表：

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

由表可得，函数f（x）的单调增区间是（-∞，$\frac{1}{3}$）及（1，+∞）．
单调减区间是（$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的极值与最值问题，通过表格可以比较直观的体现函数的单调性与最值．