Question

6．若函数$f（x）=\sqrt{5}sin（2x+ϕ），0＜ϕ＜π$对任意x满足$f（\frac{π}{3}-x）=f（\frac{π}{3}+x）$．
（1）求φ的值；
（2）若$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，求f（x）的最值及其相应x值．

Answer 1

分析 （1）由题意，函数的图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，即可求φ的值；
（2）若$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，2x+$\frac{5π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{6}$]，即可求f（x）的最值及其相应x值．

解答 解：（1）由题意，函数的图象关于x=$\frac{π}{3}$对称，∴$2×\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{5π}{6}$；
（2）f（x）=$\sqrt{5}$sin（2x+$\frac{5π}{6}$），
∵$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，∴2x+$\frac{5π}{6}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{11π}{6}$]，
2x+$\frac{5π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，即x=-$\frac{π}{12}$，f（x）_max=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，2x+$\frac{5π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$，f（x）_min=-$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，考查学生的计算能力，正确确定函数解析式是关键．