Question

16．设函数$f（x）=\frac{lnx}{x}+x-a（{a∈R}）$，若曲线$y=\frac{{2{e^{x+1}}}}{{{e^{2x}}+1}}（e$是自然对数的底数）上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （0，e]
• C． $（{-∞，\frac{1}{e}}]$
• D． [0，+∞）

Answer 1

分析 由题意可知：求导，根据根据函数的单调性即可求得y₀的取值范围，求导，则f（x）在（0，e]单调递增，且f（y₀）=y₀．，函数$f（x）=\frac{lnx}{x}+x-a（{a∈R}）$=x，化为a=$\frac{lnx}{x}$．即可求得a的取值范围．

解答 解：$y=\frac{{2{e^{x+1}}}}{{{e^{2x}}+1}}（e$是自然对数的底数），求导，y′=$\frac{2{e}^{x+1}（1-{e}^{2x}）}{（{e}^{2x}+1）^{2}}$，
令y′=0，解得：x=0，
当x＞0时，y′＞0，当x＜0，y′＜0，
则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减，
则当x=0时，取最大值，最大值为e，
∴y₀的取值范围（0，e]，
则函数$f（x）=\frac{lnx}{x}+x-a（{a∈R}）$，x∈（0，e），
求导，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx+1}{{x}^{2}}$，
x∈（0，e），f′（x）＞0，
则f（x）在（0，e）单调递增，
下面证明f（y₀）=y₀．
假设f（y₀）=c＞y₀，则f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不满足f（f（y₀））=y₀．
同理假设f（y₀）=c＜y₀，则不满足f（f（y₀））=y₀．
综上可得：f（y₀）=y₀．
令函数$f（x）=\frac{lnx}{x}+x-a（{a∈R}）$=x，化为a=$\frac{lnx}{x}$．
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，求导g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x∈（0，e），g′（x）＞0，
g（x）在（0，e）单调递增，
当x=e时取最大值，最大值为$\frac{1}{e}$，
当x→0时，a→-∞，
∴a的取值范围（-∞，$\frac{1}{e}$]，
故选C．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查转化思想，属于难题．