Question

16．已知在等腰梯形ABCD中．AB∥CD，AB=2CD，双曲线M以A、B为焦点．且过C、D两点，点E在双曲线M上．若$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，则双曲线的离心率为$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．

Answer 1

分析 可设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由题意可得|CD|=c，设C在第一象限，由x=$\frac{c}{2}$，代入双曲线的方程，可得C的坐标，再由条件$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，可得$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{EC}$，运用向量共线的坐标表示，求得E的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：可设双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
由2c=|AB|=2|CD|，可得|CD|=c，
设C在第一象限，
由x=$\frac{c}{2}$，可得y=b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$，
即有C（$\frac{1}{2}$c，b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
又设A（-c，0），
$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$，即为$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{EC}$，
可得E（$\frac{-c+\frac{2}{3}•\frac{1}{2}c}{1+\frac{2}{3}}$，$\frac{b\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}}{1+\frac{2}{3}}$），
即为（-$\frac{2}{5}$c，$\frac{3}{5}$b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}-1}$），
代入双曲线的方程，可得$\frac{4}{25}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{9}{25}$（$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$-1）=1，
由e=$\frac{c}{a}$，可得4e²-$\frac{9}{4}$e²=16，解得e=$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的坐标表示，点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．