Question

8．已知函数f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e=2.71828…为自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）设过曲线h（x）=-f（x）-（a+1）x+2a上任意一点处的切线l₁，总存在过曲线g（x）=（x-1）a+2cosx上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅲ）题意等价于对?x₁，?x₂使得（-${e}^{{x}_{1}}$-1）（a-2sinx₂）=-1，即2sinx₂=a-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$对?x₁有解x₂，根据三角函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1．
当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．…（2分）
∴函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴函数f（x）在x=0处取得最小值f（0）=0．…（4分）
（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a，
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增．…（6分）
②当a＞0时，由f′（x）=0，得x=ln a，
则当x∈（-∞，ln a）时，f′（x）＜0；当x∈（ln a，+∞）时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）在（-∞，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增．
综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，f（x）在（-∞，ln a）上单调递减，在（ln a，+∞）上单调递增．…（8分）
（Ⅲ）由题意得h（x）=-e^x-x+3a，设y=h（x）上的切点为（x₁，y₁），
y=g（x）上的切点为（x₂，y₂），h′（x）=-e^x-1，g′（x）=a-2sinx．…（9分）
题意等价于对?x₁，?x₂使得（-${e}^{{x}_{1}}$-1）（a-2sinx₂）=-1，
即2sinx₂=a-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$对?x₁有解x₂，
∵2sinx₂的值域为[-2，2]，a-$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域为（a-1，a），…（10分）
∴（a-1，a）⊆[-2，2]．
则$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥-2}\\{a≤2}\end{array}\right.$⇒-1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[-1，2]．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．