Question

20．已知函数$f（x）=ln\frac{1}{2x}-a{x^2}+x$．
（Ⅰ）当a＞0时，讨论函数f（x）的极值点的个数；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-4ln2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值的个数；
（Ⅱ）根据x₁，x₂是方程2ax²-x+1=0的两根，得到两根之和和两根之积，求出f（x₁）+f（x₂），根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ln$\frac{1}{2x}$-ax²+x=-ln2x-ax²+x，
得：f′（x）=-$\frac{1}{x}$-2ax+1=$\frac{-{2ax}^{2}+x-1}{x}$，x∈（0，+∞），
a＞0时，△=1-8a≤0即a≥$\frac{1}{8}$时，f′（x）≤0，
f（x）在（0，+∞）是减函数，f（x）无极值点．
当0＜a＜$\frac{1}{8}$时，△=1-8a＞0，令f′（x）=0，得x₁=$\frac{1-\sqrt{1-8a}}{4a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-8a}}{4a}$，
当x∈（0，x₁）和x∈（x₂，+∞）f′（x）＜0，x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在x₁取得极小值，在x₂取得极大值，所以f（x）有两个极值点．
综上可知：当a≥$\frac{1}{8}$时，f（x）无极值点；
当0＜a＜$\frac{1}{8}$时，f（x）有两个极值点．
（Ⅱ）证明：由（1）知，当且仅当a∈（0，$\frac{1}{8}$）时，f（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，
且x₁，x₂是方程2ax²-x+1=0的两根，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{2a}$，x₁x₂=$\frac{1}{2a}$，
f（x₁）+f（x₂）=ln$\frac{1}{{2x}_{1}}$-ax₁²+x₁+ln $\frac{1}{{2x}_{2}}$-ax₂²+x₂
=-（ln2x₁+ln2x₂）-a（x₁²+x₂²）+（x₁+x₂）
=ln$\frac{a}{2}$-$\frac{1}{4a}$+1+$\frac{1}{2a}$=lna+$\frac{1}{4a}$+1-ln2，
设g（a）=lna+$\frac{1}{4a}$+1-ln2，a∈（0，$\frac{1}{8}$），
g′（a）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{{4a}^{2}}$=$\frac{4a-1}{{4a}^{2}}$＜0，
∴a∈（0，$\frac{1}{8}$）时，g（a）是减函数，g（a）＞g（$\frac{1}{8}$），
∴g（a）＞ln$\frac{1}{8}$+3-ln2=3-4ln2，
∴f（x₁）+f（x₂）＞3-4ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论数思想，是一道综合题．