Question

10．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（1-2a）x+5（x≤12）\\{a^{x-13}}（x＞12）\end{array}\right.$，若数列{a_n}满足a_n=f（n），n∈N₊，且对任意的两个正整数m，n（m≠n），都有（m-n）（a_m-a_n）＜0，则实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 由题意可得数列{a_n}是递减数列，根据函数得单调性可得$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＜0}\\{0＜a＜1}\\{12（1-2a）+5＞{a}^{0}=1}\end{array}\right.$，解不等式得即可得到a的范围．

解答 解：∵对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＜0，
∴数列{a_n}是递减数列，
又∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（1-2a）x+5（x≤12）\\{a^{x-13}}（x＞12）\end{array}\right.$，a_n=f（n）（n∈N^*），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＜0}\\{0＜a＜1}\\{12（1-2a）+5＞{a}^{0}=1}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{2}}\\{0＜a＜1}\\{a＜\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{2}{3}$
故实数a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查的知识点是分段函数，其中根据分段函数中自变量n∈N^*时，对应数列为递减数列，得到函数在两个段上均为减函数，从而构造出关于变量a的不等式是解答本题的关键．