Question

1．已知数列$\frac{1}{1×3}$，$\frac{1}{3×5}$，$\frac{1}{5×7}$，…，$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$的前n项和S_n
（1）计算S₁，S₂，S₃，S₄；并由此推测S_n的表达式；
（2）证明（1）中推测的结论．

Answer 1

分析 （1）利用S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，分别取n=1，2，3，4即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可证明．

解答 解：（1）S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，
S₁=$\frac{1}{3}$，
S₂=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3×5}$=$\frac{2}{5}$，
同理可得：
S₃=$\frac{3}{7}$，
S₄=$\frac{4}{9}$．
由此推测S_n=$\frac{n}{2n+1}$．
证明：（2）∵$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴S_n=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．