Question

15．设定点F₁（0，2），F₂（0，-2），动点P满足条件$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=a+\frac{4}{a}（a＞0）$，则点P的轨迹是（　　）

• A． 椭圆
• B． 线段
• C． 不存在
• D． 椭圆或线段

Answer 1

分析 定点F₁（0，2），F₂（0，-2），动点P满足条件$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=a+\frac{4}{a}（a＞0）$，利用基本不等式的性质可得：|PF₁|+|PF₂|≥4，当且仅当a=2时取等号．即可得出轨迹方程．

解答 解：∵定点F₁（0，2），F₂（0，-2），动点P满足条件$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=a+\frac{4}{a}（a＞0）$，
∴|PF₁|+|PF₂|≥2$\sqrt{a×\frac{4}{a}}$=4，当且仅当a=2时取等号．
①|PF₁|+|PF₂|＞4=|F₁F₂|，其轨迹为椭圆．
②|PF₁|+|PF₂|=4=|F₁F₂|，其轨迹为线段F₁F₂．
则点P的轨迹是椭圆或线段．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的定义、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．