Question

20．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x）=2x+1，在数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=f（a_n）-1（n∈N^*），数列{b_n}为等差数列，首项b₁=1，公差为2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$（n∈N^*），求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由题意知：f（x）=2x+1，a_n+1=2a_n，又a₁=1，{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
故${a_n}={2^{n-1}}$，
由b₁=1，d=2可得：
∴b_n=2n-1．
（2）${c_n}=\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
∴${T_n}=1+\frac{3}{2}+\frac{5}{2^2}+\frac{7}{2^3}+…+\frac{2n-1}{{{2^{n-1}}}}$①
两边同乘公比$\frac{1}{2}$得，$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\frac{7}{2^4}+…\frac{2n-1}{2^n}$②
①-②得$（1-\frac{1}{2}）{T_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{2}{2^4}+…+\frac{2}{{{2^{n-1}}}}-\frac{2n-1}{2^n}$
化简得：${T_n}=6-\frac{2n+3}{{{2^{n-1}}}}$

点评 本题考查了数列递推关系、错位相减法、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．