Question

8．过原点与曲线y=$\sqrt{x-1}$相切的切线方程为x-2y=0．

Answer 1

分析 先设切点坐标为P，然后根据导数的几何意义在x=a处的导数即为切线的斜率，以及根据原点和p点求出斜率k，解方程即可求出切点，再根据点斜时求出切线方程即可．

解答 解：设切点P（x₀，$\sqrt{{x}_{0}-1}$），那么切线斜率，k=$y′{|}_{x={x}_{0}}^{\;}=\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-1}}$
又因为切线过点O（0，0）及点P
则k=$\frac{\sqrt{{x}_{0}-1}-0}{{x}_{0}-0}$，$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-1}}$=$\frac{\sqrt{{x}_{0}-1}}{{x}_{0}}$，
解得x₀=2，∴k=$\frac{1}{2}$，从而切线方程为x-2y=0；
故答案为：x-2y=0．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及切线过某点的问题，常常利用导数的几何意义进行求解，属于中档题．