Question

18．已知函数f（x）=x²+2x+a．若g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$，对任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f（x₁）≤g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8]
• B． [$\frac{\sqrt{e}}{e}$-8，+∞）
• C． [$\sqrt{2}$，e）
• D． （-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{e}{2}$]

Answer 1

分析 对任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f（x₁）≤g（x₂）成立，则[f（x）]_max≤[g（x）]_max，进而得到答案．

解答 解：对任意x₁∈[$\frac{1}{2}$，2]，存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，使f（x₁）≤g（x₂）成立，则[f'（x）]_max≤[g（x）]_max
f（x）=（x+1）²+a-1在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2）=8+a，
g（x）在∈[$\frac{1}{2}$，2]上单调递减，则g（x）max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{\sqrt{e}}$．
∴8+a≤$\frac{1}{\sqrt{e}}$则a≤$\frac{\sqrt{e}}{e}-8$．
故选：A

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，利用导数法研究函数的最值，难度中档．