Question

6．已知f（x）=sinx+$\frac{x^3}{6}$-mx（m≥0）．
（1）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围；
（2）当a≥1时，?x∈[0，+∞）不等式sinx-cosx≤e^ax-2是否恒成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为不等式e^ax-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1≥0对x∈[0，+∞）恒成立，构造函数M（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，根据函数的单调性判断即可．

解答 解：（1）由题意得f′（x）=cosx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-m，
设g（x）=cosx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-m，则g′（x）=-sinx+x，
令h（x）=-sinx+x，则h′（x）=-cosx+1≥0，
故h（x）在[0，+∞）递增，故g′（x）≥g′（0）=0，
故g（x）在[0，+∞）递增，即g（x）≥g（0）=1-m，
故要使f（x）在[0，+∞）递增，则1-m≥0，即m≤1，
故m的范围是m≤1；
（2）由（1）可得，x∈[0，+∞）时，sinx≤x且cosx+$\frac{{x}^{3}}{6}$$\frac{{x}^{2}}{2}$-m≥1-m，
即cosx≥1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，
故sinx-cosx≤x-（1-$\frac{{x}^{2}}{2}$），
故若?x∈[0，+∞），不等式x-（1-$\frac{{x}^{2}}{2}$）≤e^ax-2恒成立，
则不等式sinx-cosx≤e^ax-2，?x∈[0，+∞）恒成立，
要使不等式x-（1-$\frac{{x}^{2}}{2}$）≤e^ax-2，?x∈[0，+∞）恒成立，
即使不等式e^ax-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1≥0对x∈[0，+∞）恒成立，
构造函数M（x）=e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1，
则M′（x）=e^x-x-1，令m（x）=e^x-x-1，
则m′（x）=e^x-1，当x∈[0，+∞）时，m′（x）≥0，故m（x）在[0，+∞）递增，
故m（x）≥m（0）=0，故M′（x）＞0，即M（x）在[0，+∞）递增，
故M（x）≥M（0）=0，故e^x-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1≥0恒成立，
当a≥1时，e^ax≥e^x，即?x∈[0，+∞）不等式e^ax-$\frac{{x}^{2}}{2}$-x-1≥0恒成立，
故a≥1时，?x∈[0，+∞）不等式sinx-cosx≤e^ax-2恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．