Question

6．为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	m	75	68

根据最小二乘法建立的回归直线方程为$\widehaty=-20x+250$，
（1）试求表格中m的值；
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从建立的回归方程，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

Answer 1

分析 （1）利用平均数公式求得样本中心点的坐标，根据样本中心点在回归直线上，求m的值；
（2）根据题意构造函数，利用函数求得函数值取得最大值时的定价．

解答 解：（1）∵$\overline{x}$=8.5，回归直线方程为$\widehaty=-20x+250$，
∴$\overline{y}$=80，
∴$\frac{1}{6}$（90+84+83+m+75+68）=80，∴m=80；--（6分），
（2）设工厂获得的利润为L元，则依题意得：L=（x-5）（-20x+250）--（8分），
=-20（x²-17.5x+62.5）=-20（x-8.75）²+281.25，（5＜x＜12.5），--（10分），
∴当x=8.75时，L取得最大值．--（11分），
故当单价定为8.75元/件时，工厂可获得最大利润．--（12分）

点评 本题考查了回归直线的性质及回归系数的求法，考查了回归分析的应用，熟练掌握回归分析的思想方法是解题的关键．