Question

11．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x∈（-∞，2）}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，则函数F（x）=xf（x）-1的零点的个数为（　　）

• A． 7
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 由F（x）=0得f（x）=$\frac{1}{x}$，然后分别作出函数f（x）与y=$\frac{1}{x}$的图象，利用数形结合即可得到函数零点的个数．

解答 解：由F（x）=xf（x）-1=0得，f（x）=$\frac{1}{x}$，然后分别作出函数f（x）与y=g（x）=$\frac{1}{x}$的图象如图：
∵当x≥2时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2），
∴f（1）=1，g（1）=1，
f（3）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，g（3）=$\frac{1}{3}$，
f（5）=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{1}{4}$，g（5）=$\frac{1}{5}$，
f（7）=$\frac{1}{2}$f（5）=$\frac{1}{8}$，g（7）=$\frac{1}{7}$，
∴当x＞7时，f（x）＜$\frac{1}{x}$，
由图象可知两个图象的交点个数为6个．
故选：C．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断，根据方程和函数之间的关系，转化为两个函数图象的交点问题是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本思想．本题难度较大，综合性较强．