Question

1．已知 b=a³+$\frac{1}{1+a}$，a∈[0，1]．  证明：
（1）b≥1-a+a²．
（2）$\frac{3}{4}$＜b≤$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用作差法，即可证明结论；
（2）利用配方法，即可证明结论．

解答 证明：（1）因为1-a+a²-a³=$\frac{{1-{{（-a）}^4}}}{{1-（{-a}）}}=\frac{{1-{a^4}}}{1+a}$，
由于0≤a≤1，有$\frac{{1-{a^4}}}{1+a}≤\frac{1}{1+a}$，即1-a+a²-a³≤$\frac{1}{1+a}$，
所以b≥1-a+a²．…..（6分）
（2）由0≤a≤1得a³≤a，故
b=a³+$\frac{1}{1+a}$≤a+$\frac{1}{1+a}$=a+$\frac{1}{1+a}$-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{{（{a-1}）（{2a+1}）}}{{2（{a+1}）}}+\frac{3}{2}≤\frac{3}{2}$，
所以b≤$\frac{3}{2}$，
由（1）得b≥1-a+a²=${（{a-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$，
又因为当$a=\frac{1}{2}$时，b=$\frac{19}{24}$＞$\frac{3}{4}$，所以b＞$\frac{3}{4}$，
综上，$\frac{3}{4}$＜b≤$\frac{3}{2}$．…..（12分）

点评 本题考查不等式的证明，考查作差法、配方法的运用，属于中档题．