Question

12．在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且a=2bsinA．
（1）求∠B的大小；
（2）若a=3$\sqrt{3}$，c=5，求三角形ABC的面积和b的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化a=2bsinA为sinA=2sinBsinA，求出sinB的值即得B的大小；
（2）由余弦定理求出b的值，利用三角形的面积公式求出S_△ABC．

解答 解：（1）锐角△ABC中，a=2bsinA，
∴sinA=2sinBsinA，
解得sinB=$\frac{1}{2}$；
又B为锐角，
∴B=30°；
（2）由a=3$\sqrt{3}$，c=5，
∴b²=a²+c²-2accosB
=${（3\sqrt{3}）}^{2}$+5²-2×3$\sqrt{3}$×5×cos30°
=7，
∴$b=\sqrt{7}$；
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{3}$×5×sin30°=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦、余弦定理和三角形面积公式的应用问题，是基础题．