Question

2．关于函数f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R），有下列说法：
①函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到的图象关于原点对称；
②函数y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y=f（x）的图象关于点$（{-\frac{π}{6}，0}）$对称；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{6}$对称．
其中正确的是③．（填上所有你认为正确的序号）

Answer 1

分析 ①：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可求平移后图象对应的函数解析式为y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用函数的图象即可得解；
②：易求函数f（x）的最小正周期T=π，据此可判断正误；
③：利用2x+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），可求得函数y=f（x）的图象的对称中心，从而可判断正误；
④：由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），可求得函数y=f（x）的图象的对称轴方程，从而可判断正误．

解答 解：①：∵f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）向右平移$\frac{π}{3}$个单位后得到的图象对应的解析式为y=4sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=4sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由于4sin（-$\frac{π}{3}$）=-2$\sqrt{3}≠$0，故①错误；
②：∵函数f（x）的最小正周期T=π，故②错误；
③：由2x+$\frac{π}{3}$=kπ（k∈Z），得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴函数y=f（x）的图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），
当k=0时，函数y=f（x）的图象的对称中心为（-$\frac{π}{6}$，0），故③正确；
④：由2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴函数y=f（x）的图象的对称轴方程为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，故④错误；
综上所述，③正确．
故答案为：③．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查正弦函数的周期性与对称性，考查诱导公式的应用，属于中档题．