Question

10．已知数列{a_n}{满足a₁=1，a_n+1-a_n=2，等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=8
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）由题意可知：a_n+1-a_n=2
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，以d=2为公差的等差数列，…（1分）
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1，…（2分）
由等比数列{b_n}，${b_4}={b_1}•{q^3}$，而b₁=a₁，b₄=8
∴q³=8，∴q=2
∴数列{b_n}的通项公式${b_n}={2^{n-1}}$；…（5分）
（II）由（I）得a_n=2n-1，${b_n}={2^{n-1}}$，∴${c_n}=（2n-1）•{2^{n-1}}$，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=2⁰+3•2¹+…+（2n-1）•2^n-1①
∴$2{S_n}={2^1}+3•{2^2}+…+（2n-1）•{2^n}$②
由①-②得：∴$-{S_n}={2^0}+2•{2^1}+…+2•{2^{n-1}}-（2n-1）•{2^n}$
=$1+2[\frac{{{2^1}（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}]-（2n-1）•{2^n}$=-3+（2-2n）•2ⁿ．
∴${S_n}=3+（n-1）•{2^{n+1}}$…（10分）

点评 本题考查了错位相减法、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．