Question

19．在平面直角坐标系xoy中，点P到$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$两点的距离之和等于4，若点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）如果经过点（0，1）的直线l交C于点A，B，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}=0$，求该直线的方程及$|{\overrightarrow{AB}}|$．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义，可知点P的轨迹C是以$（0，-\sqrt{3}），（0，\sqrt{3}）$为焦点，长半轴为2的椭圆，设椭圆方程，即可求得a和b，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得直线l的方程，根据向量的模长公式，即可求得$|{\overrightarrow{AB}}|$．

解答 解：（1）设P（x，y）．由椭圆定义知，
点P的轨迹C是以$（0，-\sqrt{3}），（0，\sqrt{3}）$为焦点，长半轴为2的椭圆，
设椭圆的标准方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则a=2，
其短半轴为$b=\sqrt{{2^2}-{{（\sqrt{3}）}^2}}=1$，
∴C的方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$…（4分）
（2）设l：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$，消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{2k}{{{k^2}+4}}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{{{k^2}+4}}$，${y_1}{y_2}={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1$…（6分）
因$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即x₁x₂+y₁y₂=0，
所以$0=-\frac{3}{{{k^2}+4}}-\frac{{3{k^2}}}{{{k^2}+4}}-\frac{{2{k^2}}}{{{k^2}+4}}+1=\frac{{-4{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}$，解得$k=±\frac{1}{2}$．
故该直线的方程为$y=\frac{1}{2}x+1$或$y=-\frac{1}{2}x+1$…（9分）
此时，${x_1}+{x_2}=\frac{4}{17}，{x_1}{x_2}=-\frac{12}{17}$，
${（{x_2}-{x_1}）^2}={（{x_2}+{x_1}）^2}-4{x_1}{x_2}=\frac{4^2}{{{{17}^2}}}+4×\frac{12}{17}=\frac{{{4^3}×13}}{{{{17}^2}}}$，
所以$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{{{（{x_2}-{x_1}）}^2}+{{（{y_2}-{y_1}）}^2}}=|{（{x_2}-{x_1}）}|\sqrt{1+{k^2}}=\frac{{4\sqrt{65}}}{17}$，
$|{\overrightarrow{AB}}|$=$\frac{4\sqrt{65}}{17}$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，向量数量积的坐标运算，向量的模长公式，考查计算能力，属于中档题．