Question

20．已知a＞0，求证：$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}-2$．

Answer 1

分析 根据分析法的证明步骤，即可证明结论．

解答 证明：要证$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}-2$，
只要证明$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$+2≥a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$．
∵a＞0，∴只要证明（$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$+2）²≥（a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$）²，
只要证明2$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$≥$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$），
只要证明${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，显然成立，
∴$\sqrt{{a^2}+\frac{1}{a^2}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}-2$．

点评 用分析法证明不等式，即证明不等式成立的充分条件成立．