Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右顶点分别为A、B，它的右焦点是F（1，0）．椭圆上一动点P（x₀，y₀）（不是顶点）满足${k_{PA}}•{k_{PB}}=-\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点P且与椭圆相切的直线为m，直线m与椭圆的右准线l交于点Q，试证明∠PFQ为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：根据直线的斜率公式求得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，c=1，则a²-b²=1，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由△=0，求得k和t的关系，代入求得P点坐标，则椭圆的准线方程，求得Q点坐标，即可求得$\overrightarrow{FQ}$•$\overrightarrow{FP}$=0，则∠PFQ为定值．

解答 解：（1）由P（x₀，y₀），则y₀²=$\frac{{{b}^{2}（a}^{2}-{x}_{0}^{2}）}{{a}^{2}}$
k_PA•k_PB=$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}+a}$•$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{0}-a}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
则${k_{PA}}•{k_{PB}}=-\frac{1}{2}$．则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，①
由c=1，则a²-b²=1，②
解得：a²=2，b²=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）证明：设直线PQ的方程，y=kx+t，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4ktx+2t²-2=0，
则△=（4kt）²-4（1+2k²）（2t²-2）=0，解得：t²=1+2k²，即t=±$\sqrt{1+2{k}^{2}}$，
∴（1+2k²）x²+4k$\sqrt{1+2{k}^{2}}$x+4k²=0，
解得：x=$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
将x=$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，代入椭圆方程，解得：y=±$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，
则P（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），或P（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），
椭圆的准线方程x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=2，
将x=2代入y=kx+t，y=2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$，即Q（2，2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），
F（1，0），P（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），Q（2，2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{FQ}$=（1，2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），$\overrightarrow{FP}$=（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$-1，$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），
则$\overrightarrow{FQ}$•$\overrightarrow{FP}$=（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$-1）（2k+$\sqrt{1+2{k}^{2}}$）×$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$=0，
同理：将x=2代入y=kx-t，y=2k-$\sqrt{1+2{k}^{2}}$，即Q（2，2k-$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），
∴P（$\frac{-2k\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$，-$\frac{\sqrt{1+2{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$），Q（2，2k-$\sqrt{1+2{k}^{2}}$），F（1，0），$\overrightarrow{FQ}$•$\overrightarrow{FP}$=0，
即$\overrightarrow{FQ}$⊥$\overrightarrow{FP}$，
综上可知：$\overrightarrow{FQ}$•$\overrightarrow{FP}$=0，$\overrightarrow{FQ}$⊥$\overrightarrow{FP}$，
∴∠PFQ=90°为定值．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，向量数量积的坐标运算，属于中档题．