Question

3．已知等差数列{a_n}中，a₁=-60，a₁₇=-12．
（1）该数列第几项起为正？
（2）前多少项和最小？求数列{a_n}的前n项和S_n的最小值
（3）设T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得d=3，可得该数列的通项公式，由a_n＞0，即可得到所求值；
（2）由数列的通项公式可得数列的各项的符号，结合单调性，即可得到所求最小值；
（3）求得数列的前n项和，讨论当n≤21，n∈N*时，T_n=-S_n；当n≥22，n∈N*时，T_n=S_n-S₂₁-S₂₁，化简整理计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
a₁=-60，a₁₇=-12．
可得-60+16d=-12，
解得d=3，
则a_n=-60+3（n-1）=3n-63，n∈N*，
由a_n＞0，可得n＞21，
由于公差d＞0，等差数列{a_n}为递增数列，
则该数列第22项起为正；
（2）由a_n=3n-63可得n≤21可得a_n≤0，n＞21时，a_n＞0．
则前20或21项和最小．
且最小值是$\frac{1}{2}$×20×（-60-3）=-630；
（3）由S_n=$\frac{1}{2}$n（-60+3n-63）=$\frac{1}{2}$n（3n-123），
当n≤21，n∈N*时，T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-S_n=$\frac{1}{2}$n（123-3n）；
当n≥22，n∈N*时，T_n=S_n-S₂₁-S₂₁=$\frac{1}{2}$n（3n-123）-2×（-630）
=$\frac{3{n}^{2}-123n+2520}{2}$．
即有T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（123-3n），1≤n≤21，n∈N*}\\{\frac{1}{2}（3{n}^{2}-123n+2520），n≥22，n∈N*}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，以及数列的求和公式的运用，考查数列的单调性的运用：求最值，同时考查分类讨论的思想方法，化简整理的运算能力，属于中档题．