Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式及S_n；
（2）令b_n=log₃a_n+1，T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{4}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{5}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$（n∈N^*），求证：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程组关系，求出首项，利用数列的递推关系证明数列{a_n}是公比q=3的等比数列，即可求通项公式a_n，再根据等比数列的求和公式计算即可；
（2）根据对数的运算性质化简b_n=n，继而得到$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），裂项求和并放缩即可证明

解答 解：（1）∵S₂=4，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*，
∴a₁+a₂=4，a₂=2a₁+1，解得a₁=1，a₂=3．
n≥2时，a_n=2S_n-1+1，可得：a_n+1-a_n=2S_n+1-（2S_n-1+1），
化为：a_n+1=3a_n．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为1．
∴a_n=3^n-1．
∴S_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
（2）b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{3}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{4}}$+$\frac{1}{{b}_{3}{b}_{5}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$，
即：T_n＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算，根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a_n}是等比数列是解决本题的关键．求出过程中使用了裂项求和和放缩法证明不等式成立，属于中档题