Question

19．已知集合{φ|f（x）=sin[（x-2φ）π]+cos[（x-2φ）π]为奇函数，且|log_aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为（$\frac{8}{13}，\frac{5}{8}$）∪（$\frac{8}{5}，\frac{13}{8}$）．

Answer 1

分析 由函数奇偶性的性质可得φ=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{8}$，k∈Z．再由题意可得满足|log_aφ|＜1的φ有2个，即满足-1＜log_aφ＜1的φ有2个．分别取k=0，1，2，3，得到φ=$\frac{1}{8}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{9}{8}$，$\frac{13}{8}$，
对a分类可得a的取值范围．

解答 解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x-2φ）π]+cos[（x-2φ）π]为奇函数，
∴f（0）=sin（-2φπ）+cos（-2φπ）=cos2φπ-sin2φπ=0，
∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+$\frac{π}{4}$，则φ=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{8}$，k∈Z．
验证φ=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{8}$，k∈Z时，f（x）=sin[（x-2φ）π]+cos[（x-2φ）π]
=sin[（x-k-$\frac{1}{4}$）π]+cos[（x-k-$\frac{1}{4}$）π]=sin（πx-$\frac{π}{4}$）+cos（$πx-\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}sinπx$为奇函数．
∴φ=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{8}$，k∈Z．
∵集合{φ|f（x）=sin[（x-2φ）π]+cos[（x-2φ）π]为奇函数，且|log_aφ|＜1}的子集个数为4，
∴满足|log_aφ|＜1的φ有2个，即满足-1＜log_aφ＜1的φ有2个．
分别取k=0，1，2，3，得到φ=$\frac{1}{8}$，$\frac{5}{8}$，$\frac{9}{8}$，$\frac{13}{8}$，
若0＜a＜1，可得a∈（$\frac{8}{13}，\frac{5}{8}$）时，满足-1＜log_aφ＜1的φ有2个；
若a＞1，可得a∈（$\frac{8}{5}，\frac{13}{8}$）时，满足-1＜log_aφ＜1的φ有2个．
则a的取值范围为（$\frac{8}{13}，\frac{5}{8}$）∪（$\frac{8}{5}，\frac{13}{8}$）．
故答案为：（$\frac{8}{13}，\frac{5}{8}$）∪（$\frac{8}{5}，\frac{13}{8}$）．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，考查对数函数的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．